킬러 문항: 수열의 극한과 급수 추론

문제

각 자연수 $n \ge 1$에 대하여, $a_n$은 구간 $(0, \frac{\pi}{2})$에서 방정식 $\ an x = \frac{1}{n}$ 의 유일한 해라고 하자. 또한, 함수 $g(x)$가 $g(x) = \lim_{t \ o x} \frac{\sin t - \sin x}{t-x}$ 로 정의될 때, 다음 급수의 합을 구하시오.

$\sum_{n=1}^{\infty} \left( -\frac{15}{7} (n a_n)^2 + \frac{23}{21} (g(a_n))^2 + \frac{22}{21} - \frac{1}{3} \right)$