수열의 극한 및 급수 킬러 문항: 숨겨진 패턴 찾기

문제

양의 실수 $x$에 대하여 함수 $f(x) = e^x + nx - (n+1)$를 정의하자. 자연수 $n$에 대하여 방정식 $f(x)=0$의 유일한 해를 $a_n$이라 하자. 또한, 무한급수 $S_n = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{a_n} - 1 \right)^k$의 합을 $b_n$이라 하자.

이때, $\lim_{n \to \infty} n^2 \left( a_n - 1 - b_n + \frac{2(e-1)}{n} \right)$의 값은? (단, $e$는 자연로그의 밑이다.)