세 가지 수열 극한의 조합 문제

문제

양의 실수 $x$에 대하여 방정식 $x^{n+1} + x^n = 1$ 의 유일한 양의 실근을 $a_n$이라 하자. 다음 세 조건을 만족하는 $a_n, b_n, c_n$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} \left( 2b_n + \frac{c_n}{\ln 2} \right)$ 의 값을 구하시오.

(가) $a_n$은 $x^{n+1} + x^n = 1$ 의 유일한 양의 실근이다.

(나) $b_n = n \int_0^{a_n} x^n dx$

(다) $c_n = n^2 \left( a_n - \left(1 - \frac{\ln 2}{n}\right) \right)$