수열의 극한과 급수: 접선, 넓이, 그리고 극한

문제

함수 $f(x) = k(x-1)^2$ (단, $k$는 양의 상수)의 그래프 위의 점 $P_n(x_n, f(x_n))$에서의 접선을 $L_n$이라 하자. 접선 $L_n$이 $x$축과 만나는 점을 $Q_n(x_{n+1}, 0)$이라 정의한다. 점 $R_n(x_n, 0)$에 대하여 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $A_n$이라 하자.

두 조건 (가) $f(2)=1$ (나) $\sum_{n=1}^{\infty} A_n = \frac{4}{7}$ 을 만족시킬 때, $\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(f(x_n))}{n}$의 값을 구하시오. (단, $x_1 > 1$)