수열의 극한 고난도 추론 문제

문제

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \frac{e^x-1}{e^x+1}$ 가 있다.

각 자연수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 수열 $\{x_n\}$, $\{a_n\}$을 정의한다. (가) $f(x_n) = \frac{n}{n+1}$ 를 만족시키는 $x_n$은 유일하게 존재한다. (나) $a_n = \frac{x_n}{x_n+1}$

또한, 첫째항이 $a_n$이고 공비가 $r_n = \frac{a_n}{a_n+1}$ 인 무한등비급수의 합을 $S_n$이라 하자.

이때, $\lim_{n \ o \infty} \left( \sqrt{4n^2 + (S_n^2 - 1)n} - 2n \right)$ 의 값을 구하시오.