곡선 위의 점과 극한값

문제

양의 실수 $a_n$에 대하여, 곡선 $y = \frac{1}{x^2}$ 위의 점 $P_n(a_n, \frac{1}{a_n^2})$에서의 접선을 $L_n$이라 하자. 접선 $L_n$이 $x$-축 및 $y$-축과 만나는 점을 각각 $A_n, B_n$이라 할 때, 원점 $O(0,0)$과 두 점 $A_n, B_n$으로 이루어진 삼각형의 넓이를 $S_n$이라 하자.

수열 $a_n$이 $S_n = \frac{1}{n(n+2)}$을 만족시킬 때, $\lim_{n \to \infty} n(\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n})$의 값을 구하시오.