수열의 극한과 급수: 함수와 미지수 연립

문제

양의 실수 $k, m, p$에 대하여 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$를 각각 다음과 같이 정의한다. $f(x) = \lim_{n \ o \infty} \frac{x^{2n+1} + (k-1)x}{x^{2n} + 1}$ $g(x) = \lim_{n \ o \infty} \frac{x^{2n+1} + mx + p}{x^{2n} + 1}$

다음 두 조건을 만족시키는 $k, m, p$의 값을 구하고, 이를 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(1/2) \cdot g(0)}{n(n+1)}$의 값을 구하시오.

(가) 급수 $\sum_{j=1}^{\infty} (f(x))^j$가 수렴하도록 하는 실수 $x$의 집합은 길이가 2인 열린구간이다.

(나) 함수 $g(x)$는 구간 $(-2, 2)$에서 단 하나의 불연속점을 가지며, $g(0) + g(2) = 5$이다.