지수함수와 로그함수로 정의된 수열의 극한

문제

양의 실수 $x$에 대하여 함수 $f(x) = x \ln x$ 라 하자. 자연수 $n$에 대하여 방정식 $f(x) = \frac{n}{e^n}$ 의 근을 $a_n$이라 할 때, $a_n > 1$ 인 근은 유일하게 존재한다.

수열 $X_n = \frac{n}{e^n}$ 에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 상수 $p, q, r, M$ 과 자연수 $k$ 의 값을 구하고, $p+q+r+k+M$ 의 값을 구하시오.

(가) 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(e^{a_n} - \left(p + q X_n + r X_n^2\right)\right)$ 가 수렴한다.

(나) 극한 $\lim_{n \ o \infty} \left( \frac{e^{a_n} - \left(p + q X_n + r X_n^2\right)}{M X_n^k} \right) = -1$ 이다.