극한으로 정의된 함수와 급수의 성질

문제

양수 $x$에 대하여 함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다. $f(x) = \lim_{n o \infty} \frac{ax^{2n+1} + bx^{2n} + cx}{x^{2n} + 1}$ 함수 $f(x)$가 다음 세 조건을 만족시킬 때, $f(2) - f\left(\frac{1}{2}\right)$의 값은? (단, $a, b, c$는 상수이다.)

(가) 함수 $f(x)$는 $x > 0$인 모든 실수에서 연속이다. (나) $\int_0^2 f(x) dx = \frac{1}{2} + \ln 2$ (다) 급수 $\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{f(k+1)}{k+1} - \frac{f(k)}{k} \right) = 1 - \ln 2$