수열의 극한과 급수 추론 문제

문제

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \frac{1}{x}$와 $g(x) = (x+k)\ln x$가 있다. ($k$는 양의 상수)

수열 $\{x_n\}$은 $x_1 = 1$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $\int_{x_n}^{x_{n+1}} f(t)dt = \frac{1}{n(n+1)}$을 만족한다.

수열 $\{y_n\}$은 각 $n$에 대하여 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(x_n, g(x_n))$에서의 접선이 $y$-축과 만나는 점의 $y$-좌표이다.

수열 $\{y_n\}$에 대하여 급수 $\sum_{n=1}^\infty (y_n + C)$가 수렴하도록 하는 상수 $C$의 값을 구하고, 그 때의 급수의 합을 $S$라고 할 때, $kS$의 값을 구하시오. (단, $x_n > 0$이고, $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$이다.)