곡선 위의 접선과 y절편으로 이루어진 수열의 급수

문제

양의 실수 $x$에 대하여 곡선 $y = \frac{1}{x^2}$이 있다. 자연수 $n \ge 1$에 대하여 다음 조건을 만족하는 점들을 정의한다.

(가) 점 $P_n$은 곡선 $y = \frac{1}{x^2}$ 위의 점으로, $P_n$의 $x$좌표는 $n$이다. (나) 점 $Y_n$은 점 $P_n$에서의 접선 $L_n$의 $y$절편이다. (다) 수열 $a_n$은 두 점 $Y_n$과 $Y_{n+2}$를 잇는 선분 $Y_n Y_{n+2}$의 길이이다.

이때, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$의 값을 구하시오.