수열의 극한과 급수 추론

문제

함수 $f(x) = \frac{1}{x+1}$에 대하여 다음 세 조건을 만족하는 수열 $a_n, b_n, c_n$을 정의할 때, 주어진 식의 값을 구하시오. (단, $n$은 자연수이다.)

(가) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $P_n(n, f(n))$에서의 접선을 $L_n$이라 하자. $L_n$이 $y$-축과 만나는 점의 $y$-좌표를 $y_{n,\int}$라 할 때, $a_n = \frac{y_{n,\int}}{f(n)}$ 이다.

(나) 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $r_n = \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$인 원 $C_n$의 넓이를 $b_n$이라 하자.

(다) 가로의 길이가 $1$이고 세로의 길이가 $e^{-n}$인 직사각형의 넓이를 $c_n$이라 하자.

$\left( \lim_{n \to \infty} a_n \right) \cdot \left( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \right) + \left( \sum_{n=1}^{\infty} c_n \right)$