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어려움수열의 극한

수열의 극한과 급수를 활용한 미정계수 문제

수열의 극한, 급수, 지수로그 함수의 개념을 결합하여 미정계수를 추론하는 고난도 객관식 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 3학년
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문제

양의 실수 aa에 대하여 두 수열 {an}\{a_n\}, {bn}\{b_n\}이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 자연수 nn에 대하여 nlnan=k=1nln((k+1)2k(k+2))+limx o(x2+axx)n \ln a_n = \sum_{k=1}^n \ln \left( \frac{(k+1)^2}{k(k+2)} \right) + \lim_{x \ o \infty} \left( \sqrt{x^2+ax} - x \right) 이다.

(나) 무한급수 n=1(bn1n+1)\sum_{n=1}^\infty \left( b_n - \frac{1}{n+1} \right) 이 수렴한다.

(다) limn onbn=L\lim_{n \ o \infty} n b_n = L (단, LL00이 아닌 유한한 값이다.)

(라) limn olnanbn=e2L\lim_{n \ o \infty} \frac{\ln a_n}{b_n} = \frac{e^2}{L} 이다.

이때, 상수 aa의 값은?

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#미적분#수열의 극한#고난도
수열의 극한과 급수를 활용한 미정계수 문제 - 수열의 극한 풀이 | Mathology