접선을 이용한 수열의 극한 및 급수 추론

문제

함수 $f(x) = \frac{1}{x-1}$ ($x>1$) 위의 점 $P_n(x_n, y_n)$ 에서의 접선 $L_n$ 이 점 $(n, 0)$을 지난다. 접선 $L_n$ 이 $x$축과 만나는 점을 $X_n$, $y$축과 만나는 점을 $Y_n$ 이라 하고, 원점 $O(0,0)$과 $X_n$, $Y_n$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $OX_nY_n$ 의 넓이를 $A_n$ 이라 하자.

수열 $A_n$ 에 대하여, 급수 $\sum_{n=2}^{\infty} \left( A_n - 2 - \frac{k}{n-1} \right)$ 가 수렴하도록 하는 상수 $k$ 의 값을 구하고, 그 합을 $S$ 라 할 때, $kS$ 의 값을 구하시오.