수열의 극한과 급수 추론 문제

문제

양의 실수 $L$과 상수 $K$에 대하여 다음 세 조건을 만족하는 $L$, $K$의 값을 구하고, 이를 이용하여 주어진 무한급수의 합을 구하시오.

(가) 각 자연수 $n \ge 3$ 에 대하여, 방정식 $x^n - 2x + 1 = 0$ 의 양의 실근 중 $1$이 아닌 근을 $a_n$이라 하자. (나) $\lim_{n \ o \infty} a_n = L$ 이다. (다) $\lim_{n \ o \infty} \frac{a_n - L}{L^n} = K$ 이다.

위에서 구한 $L, K$를 이용하여, 수열 $\{b_n\}$을 $b_n = \frac{K}{a_n - L} - \frac{1}{L^n}$ ($n \ge 3$) 이라 정의할 때, 무한급수 $\sum_{n=3}^{\infty} (n-1)b_n L^n$ 의 값을 구하시오.