지수함수의 근과 급수의 합 극한 문제

문제

양의 실수 $x$에 대하여 각 자연수 $n$에 대해 방정식 $x e^{x/n} = 1$을 만족시키는 유일한 양의 실근을 $a_n$이라 하자. 또한, $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{k^4+k^2+1}$ 이라 하자.

이때, $\lim_{n o \infty} \left( n^2 \left( a_n - \left(1 - \frac{1}{n}\right) \right) + S_n \right)$ 의 값은?