수열의 극한과 급수 활용 문제

문제

수열 $\{a_n\}$은 $a_1 = 1$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \sqrt{k^2 a_n^2 + k a_n}$ ($k$는 양의 상수)을 만족한다. $\lim_{n \ o \infty} (a_{n+1} - a_n)$이 양의 유한값으로 존재할 때, 이 극한값을 $L$이라 하자. 이때, 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L}{a_n a_{n+1}}$의 값은?