수열의 극한으로 정의된 함수와 급수의 합

문제

함수 $f(x)$를 $f(x) = \lim_{n \ o \infty} \frac{2x^{n+1} + x^n}{x^n + 1}$ ($x>0$) 이라고 하자.

수열 $\{a_k\}$가 $a_k = f\left(\frac{k+1}{k}\right)$ ($k \ge 1$)로 정의될 때, 무한급수 $\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{4}{a_k^2} - \frac{4}{a_{k+1}^2} \right)$의 값은?