함수 방정식의 근으로 정의된 수열과 급수의 정답은?

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매우 어려움수열의 극한

함수 방정식의 근으로 정의된 수열과 급수

함수 방정식의 유일근으로 정의된 수열의 극한을 정밀하게 구하여 급수의 합을 계산하는 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 3학년

문제

양수 $n$ 에 대하여 방정식 $x \tan x = n$ 의 구간 $(0, \frac{\pi}{2})$ 에서의 유일한 근을 $a_n$ 이라 하자. 이때, 극한값 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left( a_k - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2k} \right)$ 는?

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