함수 극한과 급수

문제

함수 $f(x)$를 $f(x) = \lim_{n \ o \infty} \frac{x^{2n+1} + (k-1)x^2 - (2k-1)x}{x^{2n} + 1}$ 로 정의하자. 수열 $\{a_j\}$를 $a_j = f\left(1 + \frac{1}{j}\right) - f\left(1 - \frac{1}{j}\right)$ 로 정의할 때, 급수 $\sum_{j=1}^{\infty} a_j$ 가 수렴하도록 하는 상수 $k$의 값을 구하고, 그 때의 급수의 합을 구하시오. 단, $\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j^2} = \frac{\pi^2}{6}$ 으로 계산한다.