곡선과 접선으로 이루어진 도형의 넓이의 합

문제

좌표평면에서 이차함수 $y = x^2$ 위의 점 $P_n(x_n, y_n)$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $P_1$의 $x$좌표는 $x_1 = 2$이다. (나) 점 $P_n$에서의 접선을 $L_n$이라 할 때, $L_n$의 $x$절편을 $Q_n$이라 하자. 이때 점 $P_{n+1}$의 $x$좌표 $x_{n+1}$은 선분 $OQ_n$ (단, $O$는 원점)의 중점의 $x$좌표와 같다.

각 자연수 $n$에 대하여 점 $P_n$과 $x$축, 그리고 접선 $L_n$으로 둘러싸인 영역 중, $x \ge x_n/2$인 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$의 값은?