함수의 극한과 급수를 이용한 수열의 극한

문제

양의 정수 $k$에 대하여 함수 $f_k(x)$를 다음과 같이 정의하자. $f_k(x) = \lim_{n \ o \infty} \frac{(k+1)x^{2n+1} + (k+2)x^{2n} + k}{x^{2n} + 1}$ 수열 $\{a_k\}$를 $a_k = \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{f_k(k)} \right)^m$ 으로 정의할 때, $\lim_{k \ o \infty} k^2 a_k$ 의 값은?