좌표평면 위의 점과 넓이의 합

문제

좌표평면 위에 점 $P_0$를 원점 $(0,0)$이라 하자. 자연수 $n$에 대하여 점 $P_n=(x_n, x_n)$은 $x_1=1$이고 $x_{n+1} = x_n + \left(\frac{1}{2}\right)^n$을 만족시키는 점이다. $n \ge 1$일 때, 점 $P_n$에서 $x$-축에 내린 수선의 발을 $Q_n$이라 하자. 이때 $Q_0 = P_0 = (0,0)$이다. 선분 $P_{n-1}Q_{n-1}$, 선분 $Q_{n-1}Q_n$, 선분 $Q_nP_n$, 그리고 선분 $P_nP_{n-1}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $A_n$이라 하자. $\sum_{n=1}^{\infty} A_n$의 값은? (단, $A_1$은 삼각형 $P_0Q_1P_1$의 넓이이다.)