어려움수열의 극한

이차방정식의 근과 무한급수

이차방정식의 두 근의 차이를 이용해 정의된 수열의 무한급수 값을 구하는 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 3학년

문제

모든 자연수 $n$ 에 대하여 이차방정식 $x^2 - \left(n + \frac{1}{n}\right)x + 1 = 0$ 의 두 근을 $\alpha_n$ , $\beta_n$ 이라 하자. 수열 $a_n$ 을 $a_n = |\alpha_n - \beta_n|$ 으로 정의할 때, 급수 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}}$ 의 값은?

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#수열의 극한#무한급수#이차방정식#근과 계수의 관계#부분분수#망원급수#미적분#수열의 극한

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