함수의 특성 및 조건부 확률 문제

문제

집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 에 대하여 함수 $f: X \to X$ 중에서 임의로 하나의 함수를 선택할 때, 다음 세 조건을 만족하는 확률을 구하시오.

$A$: $f(1)=f(2)$ 이고 $f(3)=f(4)$ 이고 $f(5)=f(6)$ 이다. $B$: 함수 $f$ 의 치역의 원소의 개수가 $3$ 이다. $C$: 모든 $x \in X$ 에 대하여 $f(x) \neq x$ 이다.

세 사건 $A, B, C$ 에 대하여, 사건 $C$ 가 일어났을 때, 사건 $A$ 와 $B$ 가 동시에 일어날 확률 $P(A \cap B \vert C)$ 는? (단, 함수는 각각의 정의역 원소에 대해 공역 원소를 선택하는 횟수가 동일한 확률로 선택된다고 가정한다.)