다단계 추출과 조건부 확률

문제

두 주머니 A, B가 있습니다. 주머니 A에는 숫자 $1, 2, 3$이 각각 하나씩 적힌 3개의 공이⚽⚽⚽ 들어있고, 주머니 B에는 숫자 $4, 5, 6$이 각각 하나씩 적힌 3개의 공이 들어있습니다.

다음 세 단계의 시행을 합니다.

1단계: 주머니 A에서 공 한 개를 임의로 꺼내어 공에 적힌 수를 $X$라 합니다. 꺼낸 공은 다시 주머니 A에 넣습니다.

2단계: 주머니 B에서 공 한 개를 임의로 꺼내어 공에 적힌 수를 $Y$라 합니다. 꺼낸 공은 다시 주머니 B에 넣습니다.

3단계: 숫자 $1$이 적힌 공 $X$개와 숫자 $2$가 적힌 공 $Y$개를 넣어 새로운 주머니 C를 만듭니다. 주머니 C에서 공 두 개를 동시에 임의로 꺼냅니다.

세 사건 $E_1, E_2, E_3$을 다음과 같이 정의합니다. $E_1$: 3단계에서 꺼낸 두 공에 적힌 수의 합이 $3$이다. $E_2$: $X+Y$가 짝수이다. $E_3$: $X \cdot Y$가 $3$의 배수이다.

사건 $E_2$와 $E_3$이 동시에 일어났을 때, 사건 $E_1$이 일어날 확률은?