복합 조건부 확률 문제

문제

두 주머니 $A$, $B$가 있다. 주머니 $A$에는 흰 공 1개와 검은 공 3개가 들어 있고, 주머니 $B$에는 흰 공 2개와 검은 공 2개가 들어 있다.

다음 시행을 한다.

1. 두 주머니 $A$, $B$ 중 하나를 임의로 선택한다.
2. 선택된 주머니에서 공 2개를 동시에 꺼낸다.
3. 꺼낸 2개의 공의⚽⚽ 색이 서로 같으면 육면체 주사위를 굴려 나오는 눈의 수가 3의 배수일 때까지 주사위를 던진다. (단, 주사위를 1회 던져 3의 배수가 나오는 경우를 의미한다.)
4. 꺼낸 2개의 공의 색이 서로 다르면 사면체 주사위 (눈금 1, 2, 3, 4)를 굴려 나오는 눈의 수가 짝수일 때까지 주사위를 던진다. (단, 주사위를 1회 던져 짝수가 나오는 경우를 의미한다.)

위 시행에서 주사위를 1회만 던져 조건을 만족하는 사건이 발생했을 때, 처음에 주머니 $A$를 선택했을 확률은? (단, 모든 주사위는 공정하며, 각 눈이 나올 확률은 동일하다.)