함수 추론 및 미분 계수 구하기

문제

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하며 역함수 $g(x)$를 갖는 함수 $f(x)$가 다음 두 조건을 만족한다.

(가) 모든 양의 실수 $x$에 대하여 $f(x)g'(f(x)) = x \ln x + x$이다. (나) $\lim_{x \to 0^+} (f(x) - \ln x) = 1$

함수 $h(x) = x^3 f(x^2)$에 대하여 $h'(1)$의 값을 구하시오.