미분법과 역함수 미분법의 통합 추론 문제

문제

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 양의 실수 $x$에 대하여 $f(x) > 0$이다. (나) $\lim_{x \ o 1} \frac{f(x)-1}{x-1} = e$ (다) 함수 $g(x) = \int_0^{f(x)-1} e^{t^2} dt$ 에 대하여 함수 $h(x)$는 $g(x)$의 역함수이고, $h'(0) = \frac{1}{e}$ 이다. (라) 함수 $f(x)$는 미분방정식 $\frac{f'(x)}{f(x)} = kx$ (단, $k$는 상수)를 만족시킨다.

이때, $f\left(\sqrt{1+\frac{2}{e}}\right)$의 값을 구하시오.