미분가능한 함수의 성질과 역함수의 미분법

문제

함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하며 $f(0)=0$, $f'(0)=2$를 만족한다. 함수 $g(x)$를 다음과 같이 정의한다. $g(x) = \begin{cases} e^{ax} + b & (x < 0) \\\\ e^{cx} + d f(x) & (x \ge 0) \end{cases}$ 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 역함수가 존재한다. 또한 $(g^{-1})'(e^2+4) = \frac{1}{6}$일 때, 상수 $a, b, c, d$에 대하여 $a+b+c+d$의 값을 구하시오. (단, $a>0$, $c>0$)