미분법 킬러 문항: 절댓값 함수와 미분가능성

문제

함수 $f(x) = x e^{ax}$ 에 대하여, 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $g(x) = |f(x) - k| e^{2x}$ 가 있다. $a$ 와 $k$ 는 상수이다. 함수 $h(x) = \begin{cases} g(x) & x < -1 \\ Px + Q & x \ge -1 \end{cases}$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, $a = -\frac{1}{2}$ 일 때 $P+Q$ 의 값은? (단, $P, Q$ 는 상수이다.)