지수함수와 다항함수의 곱으로 표현된 함수의 미분가능성 및 변곡점

문제

함수 $f(x)$는 최고차항의 계수가 양수인 이차함수이고 $f(0)=4$이다. 함수 $g(x) = e^{-x}f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $h(x) = |g(x)-k|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 양수 $k$가 존재한다. (나) $g'(1)=0$ (다) 함수 $g(x)$는 변곡점을 오직 하나 갖는다.

$f'(0)$의 값을 구하시오.