미분가능성과 함수의 개형 추론 고난도 문제

문제

함수 $f(x) = (x^2+ax+b)e^{-x}$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$는 $x=1$과 $x=3$에서 극값을 갖는다. (나) 함수 $g(x) = |f(x)-k|$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (다) 방정식 $f(x)=k$의 서로 다른 실근의 개수는 1개이다.

$f'(0)+f''(0)$의 값을 구하시오.