미분가능성, 역함수 미분법 종합 문제

문제

함수 $f(x)$는 모든 실수 $x$에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-1}{x} = 2$

(나) $f(x) = \begin{cases} ae^{2x}+b & (x < 0) \\ \sin x + cx + d & (x \ge 0) \end{cases}$

$x \ge 0$에서 정의된 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $a+b+c+d+g'(1+\frac{\pi}{2})$의 값을 구하시오.