미분 가능성을 이용한 미정계수 결정 및 함수 값 계산

문제

양의 실수 $a, b$에 대하여 함수 $f(x) = (x-a)^2 e^{x+b}$ 이 주어져 있다. 두 조건 (가)와 (나)를 만족할 때, $g'(a+1)$의 값은?

(가) 함수 $g(x) = f(x) + |f(x)-k|$ 가 모든 실수 $x$에 대하여 미분가능하도록 하는 상수 $k$가 존재한다.

(나) 함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$에 대하여 $f^{-1}(e^2) = a+2$이고, $\left(f^{-1}\right)'(e^2) = \frac{1}{2e^2}$이다.