합성함수의 미분과 극값 분석

문제

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x) = f(e^x)$로 정의하자. 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $g(x)$의 극댓값을 구하시오.

(가) 함수 $g(x)$는 $x=0$과 $x=\ln 3$에서 극값을 갖는다. (나) 함수 $g(x)$의 극솟값은 2이다.