미분법과 극한을 활용한 함수의 미정계수 추론 문제

문제

이계도함수를 가지는 함수 $f(x)$와 상수 $a=1$에 대하여 함수 $g(x)=(x^2+1)e^{f(x)}$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$는 $x=1$에서 극값을 가지며, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선은 점 $(0,3)$을 지난다. (나) $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)-e^{f(0)}}{x^2} = -4e^{f(0)}$ (다) $f(0)=4$

이때, $f''(1)$의 값은?