미분법의 종합적 이해 문제

문제

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 양의 실수 $x$에 대하여 $f(x)g(x) = e^{2x-2}$이다. (나) $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h^2) - f(1)}{h^2} = 3$ (다) 함수 $g(x)$의 역함수가 존재하고, 이를 $g^{-1}(x)$라고 할 때, $f(1)=1$이다.

이때, $(g^{-1})'(1)$의 값은?