함수 증가 조건과 미분 계수

문제

함수 $f(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) > 0$인 미분가능한 함수이다. 함수 $g(x)$를 $g(x) = \ln(f(x))$라 하고, 함수 $h(x)$를 $h(x) = g(x)e^{-x}$라 하자. 함수 $h(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 항상 증가하며, $h'(x)=0$을 만족시키는 $x$의 값은 $x=1$이 유일하다. $f(1)=e$일 때, $f''(1)$의 값은?