세 이차곡선과 공통 초점을 지나는 직선

문제

좌표평면에서 점 $F(0,0)$를 공통 초점으로 하는 세 이차곡선이 있다.

1. 포물선 $P_1$: 준선이 직선 $x=-2$이다.
2. 타원 $E_1$: 다른 초점이 $F'(2,0)$이고 장축의 길이가 $3$이다.
3. 쌍곡선 $H_1$: 다른 초점이 $F''(4,0)$이고 주축의 길이가 $2$이다.

양수 $m$에 대하여 직선 $L: y=mx$가 세 이차곡선 $P_1, E_1, H_1$과 각각 제1사분면에서 만나는 점을 $A, B, C$라 하자. 점 $A, B, C$에서 초점 $F(0,0)$까지의 거리를 각각 $k_A, k_B, k_C$라 할 때, $k_A+k_C = 10k_B$를 만족시키는 $m$의 값은?