이차곡선 통합 문제 (기하)

문제

좌표평면에서 두 초점 $F_1(-c, 0)$과 $F_2(c, 0)$ (단, $c>0$)를 공유하는 타원 $\mathcal{E}$와 쌍곡선 $\mathcal{H}$가 있다. 타원 $\mathcal{E}$의 장축의 길이는 $2a$이고, 쌍곡선 $\mathcal{H}$의 주축의 길이는 $2k$이다. 점 $P$는 제1사분면에 있는 타원 $\mathcal{E}$ 위의 점이고, 점 $Q$는 제2사분면에 있는 쌍곡선 $\mathcal{H}$ 위의 점이다. 다음 조건을 만족할 때, $a$의 값을 구하시오.

(가) $PF_2 = 2k$ (나) $QF_2 = 3PF_2$ (다) 세 점 $P, F_1, Q$는 한 직선 위에 있다. (라) 삼각형 $PF_1F_2$의 넓이는 $2\sqrt{3}c$이다.