공통 초점을 갖는 타원, 쌍곡선 위의 점과 거리

문제

두 초점 $F_1(-2, 0)$과 $F_2(2, 0)$을 공유하는 타원 $C_1$과 쌍곡선 $C_2$가 있다. 타원 $C_1$ 위의 제1사분면에 있는 점 $P$에 대하여 $PF_1 = \sqrt{6}+\sqrt{2}$ 이고 $\angle F_1 P F_2 = 90^\circ$ 이다. 쌍곡선 $C_2$의 주축의 길이는 2이고, $C_2$ 위의 제1사분면에 있는 점 $Q$는 점 $P$와 $x$좌표가 같다. 이때, 선분 $PQ$의 길이를 구하시오.