이차곡선의 심화 활용 문제

문제

좌표평면에서 포물선 $C_1: y^2 = 4x$ 가 있다. 타원 $C_2$는 두 점 $F_1(1,0)$과 $F_2(c,0)$ (단, $c>1$)을 초점으로 하며, 점 $A$는 포물선 $C_1$과 타원 $C_2$ 위에 모두 존재한다. 직선 $x=c$가 포물선 $C_1$과 만나는 두 점을 각각 $P, Q$라 하자. 이때 점 $P$는 $y$좌표가 양수인 점이다. $F_1P + F_2Q = 10$일 때, 타원 $C_2$의 장축의 길이는?