이차곡선의 성질을 활용한 거리 추론 문제의 정답은?

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어려움이차곡선

이차곡선의 성질을 활용한 거리 추론 문제

포물선, 타원, 쌍곡선의 기하학적 정의와 접선의 성질을 복합적으로 활용하여 각 이차곡선의 장축 및 주축의 길이를 추론하고 합을 구하는 고난도 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 3학년

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좌표평면 위에 두 점 $F_1(4, 0)$ 과 $F_2(-4, 0)$ 이 있다. 이 두 점은 타원 $E$ 와 쌍곡선 $H$ 의 공통된 초점이다.

포물선 $P_b$ 는 초점이 $F_1(4,0)$ 이고 준선이 직선 $x=-4$ 이다.

점 $A$ 는 제1사분면에 있는 포물선 $P_b$ 위의 점이고, 점 $A$ 에서의 포물선 $P_b$ 의 접선 $L$ 은 점 $F_2$ 를 지난다.

점 $P$ 는 제1사분면에 있는 타원 $E$ 위의 점이며, 선분 $AF_1$ 의 중점이다.

점 $Q$ 는 제1사분면에 있는 쌍곡선 $H$ 위의 점이며, 점 $F_1$ 로부터 점 $Q$ 까지의 거리( $QF_1$ )는 두 초점 사이의 거리 $F_1F_2$ 와 같다.

타원 $E$ 의 장축의 길이를 $2a_E$ , 쌍곡선 $H$ 의 주축의 길이를 $2a_H$ 라고 할 때, $a_E + a_H$ 의 값은?

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포물선, 타원, 쌍곡선의 표준형과 주요 성질을 이해하고 있는지 확인하는 문제입니다.

평행이동된 포물선의 방정식을 이용하여 초점의 좌표를 찾는 문제입니다.

주어진 포물선의 방정식으로부터 초점의 좌표를 구하는 문제입니다.