킬러 이차곡선: 세 곡선의 아름다운 연결

문제

좌표평면 위에 다음 조건을 만족시키는 세 이차곡선 $\mathcal{P}$, $\mathcal{E}$, $\mathcal{H}$가 있다.

(가) 포물선 $\mathcal{P}$는 $y^2=4x$이다. $\mathcal{P}$의 초점을 $F_1$이라 하고, 준선을 $l_1$이라 하자.

(나) 타원 $\mathcal{E}$의 두 초점은 $F_1$과 $F_2(-3,0)$이다. 포물선 $\mathcal{P}$의 초점을 지나는 현 중 준선 $l_1$에 수직인 현의 한 끝점 $A$는 타원 $\mathcal{E}$ 위에 있다. (단, 점 $A$는 제1사분면에 있다.)

(다) 쌍곡선 $\mathcal{H}$의 두 초점은 $F_2$와 $F_3(k,0)$이다. 포물선 $\mathcal{P}$의 준선 $l_1$과 $x$축의 교점 $V$는 쌍곡선 $\mathcal{H}$의 한 꼭짓점이다.

(라) 타원 $\mathcal{E}$의 장축의 길이는 쌍곡선 $\mathcal{H}$의 두 초점 사이의 거리와 같다.

이때, 쌍곡선 $\mathcal{H}$의 이심률 $e_{\mathcal{H}}$의 값은?