타원과 포물선의 고난도 통합 문제

문제

좌표평면 위에 초점이 $F(1,0)$이고 준선이 $x=-1$인 포물선 $P$가 있다. 또한, 두 초점 $F(1,0)$과 $F_2(-1,0)$을 갖는 타원 $E$가 있다. 타원 $E$의 장축의 길이를 $2a$라고 하자. 점 $A$는 포물선 $P$ 위의 제1사분면에 있는 점이다. 점 $B$는 타원 $E$ 위의 제1사분면에 있는 점이다. 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 $A$에서 포물선 $P$에 그은 접선은 점 $F_2(-1,0)$을 지난다. (나) 점 $B$의 $x$좌표는 점 $A$의 $x$좌표와 같다. (다) 선분 $F_2B$의 길이는 $2\sqrt{2}$이다.

타원 $E$의 장축의 길이 $2a$의 값은?