이차곡선 통합 추론: 포물선, 타원, 쌍곡선

문제

좌표평면 위에 포물선 $P$, 타원 $E$, 쌍곡선 $H$가 다음 조건을 만족한다.

(가) 포물선 $P$의 방정식은 $y^2 = 4x$이다. 포물선 $P$의 초점을 $F_1$이라 하고, 준선을 $l$이라 하자. (나) 타원 $E$와 쌍곡선 $H$는 두 점 $F_1$과 $F_2(10,0)$을 공통 초점으로 가진다. (다) 제1사분면에 있는 점 $A$는 포물선 $P$와 타원 $E$ 위에 있다. 점 $A$에 대하여 $\angle F_1AF_2 = 90^\circ$이다. (라) 제1사분면에 있는 점 $B$는 쌍곡선 $H$ 위에 있으며, 선분 $BF_1$은 $x$축에 평행하다. 또한, $BF_2 = AF_1$이다.

타원 $E$의 단축의 길이의 제곱을 $b_E^2$, 쌍곡선 $H$의 주축의 길이의 제곱을 $b_H^2$이라 할 때, $b_E^2 + b_H^2$의 값은?