세 이차곡선의 기하학적 연계 문제

문제

좌표평면 위에 두 초점 $F_1(c,0)$과 $F_2(-c,0)$ (단, $c>0$)을 공유하는 타원 $E$와 쌍곡선 $H$가 있다. 또한, $F_1(c,0)$을 초점으로 하고 직선 $x=-c$를 준선으로 하는 포물선 $P$가 있다.

다음 조건들을 만족할 때, 삼각형 $AF_2B$의 넓이는 $K$이다. 이때 $K$의 값을 구하시오.

(가) 포물선 $P$ 위의 점 $A$ (제1사분면에 있음)는 $P$의 준선 위의 한 점 $M(-c,y_A)$에 대하여 $AM=6$을 만족한다. (나) 타원 $E$의 장축의 길이는 $10$이고, 쌍곡선 $H$의 주축의 길이는 $2$이다. (다) 점 $B$는 타원 $E$와 쌍곡선 $H$의 교점 중 제1사분면에 있는 점이다.