세 이차곡선의 기하학적 관계

문제

양수 $k$에 대하여 세 이차곡선이 다음과 같이 정의된다.

(가) 포물선 $P$: 초점 $F_1(-k, 0)$, 준선 $x=-3k$ (나) 타원 $E$: 두 초점 $F_1(-k, 0)$, $F_2(k, 0)$ (다) 쌍곡선 $H$: 두 초점 $F_2(k, 0)$, $F_3(3k, 0)$

다음 조건을 만족하는 점 $A, B, C$가 각각 이차곡선 $P, E, H$ 위에 있다. 모든 점 $A, B, C$는 제1사분면에 있거나 $y$축 위에 있다.

(i) 점 $A$는 포물선 $P$ 위의 점으로, $AF_1 = 4$이다. (ii) 점 $B$는 타원 $E$ 위의 점으로, $BF_1 = 6$이고 점 $A$와 $B$는 동일한 $x$좌표를 가진다. (iii) 점 $C$는 쌍곡선 $H$ 위의 점으로, $CF_2 = 6$이고 $x$좌표는 $0$이다.

이때, 타원 $E$의 장축의 길이와 쌍곡선 $H$의 주축의 길이의 합을 구하시오.