세 이차곡선이 엮인 도형의 길이 문제

문제

좌표평면에 세 이차곡선이 주어져 있다. 공통 초점 $F(0, 0)$에 대하여 타원 $E$는 다른 초점 $F'(-4, 0)$을 갖고, 장축의 길이가 $10$이다. 포물선 $P$는 초점 $F(0, 0)$과 준선 $x = -\frac{7}{4}$을 갖는다. 쌍곡선 $H$는 초점 $F(0, 0)$과 $F_H(8, 0)$을 갖고, 주축의 길이가 $4$이다.

점 $A$는 제1사분면에 있는 타원 $E$와 포물선 $P$ 위의 점이다. 점 $B$는 제1사분면에 있는 포물선 $P$와 쌍곡선 $H$ 위의 점이다. 다음 조건들을 만족할 때, 선분 $\overline{F'B}$의 길이를 구하시오.

(가) $\angle F_HFA = \frac{\pi}{3}$ (나) 삼각형 $ABF$의 넓이는 $\frac{33\sqrt{3}}{10}$이다.